Trung Quoc duoc xem nhu mot con rong khong lo cua ca chau A va the gioi. Mac du moi chi chinh thuc thanh lap duoc 60 nam nhung Trung Quoc da khong ngung vuon len trong tat ca cac linh vuc, hay cung nhin lai nhung "con so biet noi" cua Trung Quoc trong nhung nam vua qua: chi so GDP lien tuc dat tren 9%/ nam, tong san pham quoc noi cua Trung Quoc Năm 2021, Hậu Giang có nhiều nỗ lực thực hiện chỉ số năng lực cạnh tranh (PCI), chỉ số hiệu quả quản trị và hành chính công (PAPI), chỉ số cải cách hành chính (PAR INDEX), chỉ số hài lòng về sự phục vụ hành chính (SIPAS). Tuy nhiên, có chỉ số tăng hạng nhưng cũng có VTC Family. Leader Talk Bộ nhận diện Logo VTC 30 năm tuyển dụng khảo sát. 13/10/2022 | ngoc.vu. 28 Xem 0 thích 0 Bình luận. Chủ tịch UBND tỉnh giao Sở Tài nguyên và Môi trường chủ trì, phối hợp với UBND các huyện, thị xã, thành phố và các cơ quan, đơn vị có liên quan triển khai thực hiện đôn đốc triển khai thực hiện Dự án Tăng cường quản lý dất đai và cơ sở dữ liệu đất đai (Dự án VILG) theo đề nghị của Bộ Tài nguyên Tử Vi: Định Danh một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản trong tử vi. Chào các bạn đã ghé thăm Blog của chúng tôi. Tại đây chúng tôi có thể tư vấn cho các bạn về Tử Vi, Đá Phong Thủy, Chọn Ngày Tốt Xấu, Xem Tuổi Vợ Chồng, Chọn Ngày Khai TrườngRất mong các bạn ủng . TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM NGƯỜI THỰC HIỆN DIỆP HOÀNG ÂN MSSVDTN020672 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ThS. HOÀNG HUY SƠN An Giang, 2004 Diệp Hoàng Ân LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy Hoàng Huy Sơn, thầy Hồ Văn Các dã hướng dẫn tận tình và đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này, cũng xin trân trọng cảm ơn Hội đồng khoa học Khoa Sư phạm đã hướng dẫn tôi làm các thủ tục nghiên cứu. 1 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân LỜI MỞ ĐẦU C hương rình Đại số đại cương được dạy và học trong trường đại học cao đẳng có nhiều khái niệm đưa kèm phần bài tập mà phạm vi ứng dụng khá rộng. Nhưng do hạn chế về thời gian nên phần lớn này chỉ được giới thiệu lướt qua. Do đó, các bài tập liên quan cũng khó giải quyết thuạn lợi. Cho nên việc nghiên cứu các khái niệm này là rất cần thiết. Thứ nhất, nó giúp cho người học hiểu cặn kẻ hơn những khái niệm trong Đại số đại cương. Thứ hai, nó có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán trong việc học tập nghiên cứu môn này. Với lý do đó, cần nên phải nghiên cứu đối tượng này. Tuy nhiên, vì thời gian có hạn và hạn chế về trình độ nên người nghiên cứu chỉ nhắm đến các khái niệm trong vành giao hoán có đơn vị. Để hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình yêu cầu người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc, trình bày kết quả nghiên cứu một cách có hệ thống, chặt chẽ, rõ ràng mạch lạc và dễ hiểu. Để đảm bảo yêu cầu đó, phần nội dung của đề tài sẽ trình bày bố phần. Mỗi phần gồm ba đề mụcĐịnh nghĩa, tính chất và bài tập có lời bốn phần sẽ là các bài tập d5ề nghị. Với cách trình bày như vậy , tôi mong nó sẽ là tư liệu tham khảo thuận lợi đối với sinh viên bước đầu học Đại số đại cương. Tuy nhiên, do mới bước đầu nghiên cứu và trình bày nên đề tài chắc có nhiều khiếm khuyết. Em rất mong được sự chỉ dẫn của các thầy cô trong Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm, cũng như các bạn đọc khác để hoàn thiện đề tài. Xin chân thành cảm ơn. Người viết đề tài Diệp Hoàng Ân 2 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân MỤC LỤC Phần Thứ Nhất IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ Trang 4 Phần Thứ Hai PHẦN TỬ LUỸ LINH VÀ NIL-CĂN TRONG VÀNH 14 Phần Thứ Ba IĐÊAN CĂN CỦA MỘT IĐÊAN CỦA VÀNH 18 Phần Thứ Tư TẬP CON NHÂN CỦA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ VÀ IĐÊAN CỦA VÀNH CÁC THƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 21 29 30 31 Diệp Hoàng Ân Phần Thứ Nhất IDÊAN NGUYÊN TỐ VÀ IDÊAN TỐI ĐẠI TRONG VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ I. ĐỊnh Nghĩa Cho X là vành giao hoán có đơn vị, iđêan nguyên tố và tối đại của X được định nghĩa như sau Iđêan P của X, là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu P ≠ X và với x, y ∈ X sao cho xy ∈ P thì x ∈ P hoặc y ∈ P. hoặc nếu và chỉ nếu P ≠ X và với x, y ∈ X sao cho x, y ∉ P ⇒ xy ∈ P Iđêan A của X là iđêan tối đại nếu và chỉ nếu A ≠ X và mọi iđêan của X chứa A là chính A hoặc X II. Mội số tính chất liên quan 1. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, chứng minh các khẳng định sau a P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi X/P là miền nguyên. b A là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi X/A là trường. Giải a P là iđêan nguyên tố thì X/P là miền nguyên 4 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Thật vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/P cũng là vành giao hoán có đơn vị. Vì P ≠ X nên X/P có nhiều hơn một phần tử. Mặt khác, với x + P, y + P ∈ X/P. Sao cho x + P y + P = xy + P = 0 + P. Ta có xy ∈ P ⇒ x ∈ P hoặc y ∈ P Nếu x ∈ P thì x + P = P Nếu y ∈ P thì y + P = P Do đó X/P không có ước của không. Vậy X/P là miền nguyên. Ngược lại, nếu X/P là miền nguyên thì P là iđêan nguyên tố. Thật vậy, vì X/P là miền nguyên nên X/P có từ hai phần tử trở lên nghĩa là X ≠ P. Vì X/P không có ước của không nên ∀ x, y ∈ X sao cho xy ∈ P tức là xy+ P = P thì x + P = P hoặc y + P = P tức là x ∈ P hoặc y ∈ P. Vậy P là iđêan nguyên tố. b Cách 1 A là iđêan tối đại thì X/A là trường. Thậy vậy, vì X là vành giao hoán có đơn vị nên X/A là vành giao hoán có đơn vị. Hơn nữa do X ≠ A nên X/A có nhiều hơn một phần tử. Mặt khác, ∀ x ∈ X sao cho x + A ≠ A tức là x ∉ A . Gọi I = A + xX, thế thì I là iđêan của X chứa A thực sự. Vì A là iđêan tối đại nên I = X. Suy ra 1 ∈ I. Do I = A + xX nên tồn tại a ∈ A, x/ ∈ X sao cho 1 = a + xx/. Suy ra 1 + A = a + xx/ + A = xx/ + A . = x + A x/ + A . / ⇒ x + A là phần tử nghịch đảo của x + A. Vậy X/A là trường Ngược lại, X/A là trường thì A là iđêan tối đại. Thật vậy, vì X/A là trường nên X/A có từ hai phần tử trở lên nên A ≠ X. Ta gọi I là một iđêan bất kỳ của X chứa A thực sự. Khi đó tồn tại x ∈ I nhưng x∉ A tức là x+A ≠A, do X/A là trường nên tồn tại x/ +A≠A sao cho x+Ax/ +A = xx/ +A=1+A. Do I là iđêan của X nên xx/ ∈ I, suy ra xx/ =1+a ∈ I ⇒ 1= xx/ -a ∈ I ⇒ I=X. Vậy A là iđêan tối đại. Cách 2 A là iđêan tối đại của X thì X/A là trường cũng như cách 1 ta luôn có X/A là vành giao hoán, có đơn vị và có nhiều hơn một phần tử. Gọi B là iđêan của X/A thế thì q-1B là iđêan của X. Trong đó q X → X/A là một toàn cầu chính tắc. Khi đó ∀ x ∈ A ⇒ x+A = qx = A ∈ B ⇒ q-1x+A ∈ q-1B ⇒ A ⊂ q-1B. Do A là iđêan tối đại của X nên suy ra q-1B=A hoặc q-1B=X. . Nếu q-1B=A, ∀ x+A ∈ B ⇒ x ∈ q-1B=A ⇒ x+A = A ⇒ B={0+A} iđêan 0 của vành X/A. . Nếu q-1B=X, ⇒ 1 ∈ q-1B=1+A ∈ B ⇒ B = X/A. Rõ ràng với mọi iđêan B của X/A thì B là iđêan 0 hoặc chính là X/A nên X/A là trường. 5 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Chiều ngược lại, nếu X/A là trường ta cũng có X≠A. Gọi B là iđêan của X sao cho A ⊂ B ⊂ X ⇒ B/A là iđêan của X/A. Thật vậy, ∀ x+A ∈ X/A, ∀ b+A ∈ B/A. Ta có x+Ab+A=b+Ax+A=xb+A ∈ B/A. Vì X/A là trường nên B/A ={0+A} hoặc B/A = X/A. . Nếu B/A ={0+A} ⇒ B=A. .Nếu B/A = X/A ⇒ B=X. Vậy A là iđêan tối đại của X. 2. X là vành giao hoán có đơn vị thế thì mọi iđêan tối đại của X cũng là iđêan nguyên tố của X. Giải A là iđêan tối đại ⇔ X/A là trường ⇒ X/A là miền nguyên ⇔ A là iđêan nguyên tố. 3. Nếu f X → Y là đồng cấu vành P là iđêan nguyên tố của Y thì f –1P là iđêan nguyên tố của X. Chứng minh Từ f X → Y ta định nghĩa ánh xạ f X → Y/P x → fx + P rõ ràng f là một đồng cấu vành. Thật vậy, ∀ x,y ∈ X ta có f xy = fxy + P = fxfy + P = fx + Pfy + P = f x f y f x+y = fx+y + P = fx + P+fy + P = f x+ f y Ker f = { x ∈ X f x = fx+P = P } = { x ∈ X fx = fx ∈ P } = f –1P Theo tính chất của đồng cấu vành ta có X / Ker f ≅ Im f = f X ⊂ Y/P mà Y/P là miền nguyên do P là iđêan nguyên tố → X / Ker f = X / f –1P là miền nguyên, nên f –1P là iđêan nguyên tố của X. 4. Nếu f X → Y là đồng cấu vành và A là iđêan tối đại của Y thì f –1A là iđêan tối đại của X. Chứng minh tương tự tính chất 3. III. Một số bài tập liên quan 1. Giả sử X là vành có đơn vị sao cho x2=x với x ∈ X, chứng minh. a X là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại. b Nếu X là miền nguyên thì X là trường gồm hai phần tử {0,1} a ∀ x ∈ X ta có x = x2 = -x2 = -x Giải 6 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Suy ra ∀ a,b ∈ X ta có a+b2 = a2 + ab + ba + b2 = a + ab +ba + b = a + b ⇔ ab + ba = 0 ⇔ ab = -ba = ba Vậy X là vành giao hoán. Gọi A là iđêan nguyên tố của X và B là iđêan của X chứa A thật sự. Khi đó tồn tại x ∈ B nhưng x∉ A, ta có x2 – x = 0 ∈ A do x2=x. ⇒ xx-1 ∈ A ⇒ x-1 ∈ A ⇒ x-1 ∈ B ⇒ 1= x-x-1 ∈ B ⇒ B=X vậy A là iđêan tối đại. b Nếu X là miền nguyên thì ∀ x ∈ X ta có x2-x = 0 ⇒ xx-1 = 0 ⇒ x=0 hoặc x=1. Vậy X={0,1} là một trường. Vành có tính chất trên là vành Boole. 2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị ∀ x ∈ X tồn tại n ∈ N* sao cho xn=x chứng minh mọi iđêan nguyên tố của X đều tối đại chứng minh tương tự bài tập 1a. 3. Giả sử X là tập hợp khác rỗng℘ X là tập các tập con của X. Ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau. A+B = A\B ∪ B\A AB = A ∩ B Chứng minh ℘ x là vành giao hoán và mọi iđêan nguyên tố đều tối đại. Giải Dễ dàng kiểm tra được ℘ X là một vành với đơn vị là X. Mặt khác ∀ A ∈ ℘ X, ta có A2= = A ∩ A = A. Vậy ℘ X là vành Boole. Áp dụng bài 1a ta có điều phải chứng minh. *4. Iđêan tối đại không chứa phần tử khả nghịch. Thật vậy, giả sử I là iđêan tối đại của X, khi đó I ≠ X nên 1∉ I. Gỉa sử tồn tại x ∈ X khả nghịch thoả x ∈ I. Khi đó xx/ = 1 ∈ I vô lý. Vậy I không chứa phần tử khả nghịch của X. Từ kết quả trên ta có bài tập 5 5. Cho I là iđêan tối đại của X, khi đó tồn tại phần tử không khả nghịch thuộc I. Thật vậy, giả sử ∀ x không khả nghịch thoả x∉ I khi đó ∀ y khả nghịch thì y∉ I. Suy ra I rỗng vô lý. Vậy ∃ x ∈ I. ∞ 6. Xét nhóm G = U k =1 P K 1 với phép nhân thông thường. Trên G ta xây dựng phép cộng là phép nhân thông thường x ⊕ y =xy, và phép nhân * là phép nhân không x*y=0 chứng minh vành G không có đơn vị và không có iđêan tối đại. Giải Vì phép nhân * là phép nhân không nên hiển nhiên G không có đơn vị. Giả sử A là Iđêan tối đại của G khi đó G/A là trường. Do G là vành không có 7 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân đơn vị nên G/A không có đơn vị nên G/A không phải là trường, mâu thuẩn với đều giả thiết A là iđêan tối đại. Vậy G không có iđêan tối đại. Từ chứng minh trên ta cũng thấy G không có iđêan nguyên tố. 7. Cho A1, A2 là các vành giao hoán có đơn vị và X = A1 x A2 Chứng minh. a P là iđêan nguyên tố của X khi và chỉ khi P có dạng P = P1 x A2 hoặc P = A1 x P2 với P1, P2 là iđêan nguyên tố của A1, A2 . b M là iđêan tối đại của X khi và chỉ khi M có dạng M = M1 x A2 hoặc M = A1 x M2 với M1, M2 là iđêan tối đại của A1, A2 . Giải a Gọi P1 là iđêan nguyên tố của A1. Thế thì P1 x A2 là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2. Thật vậy, ∀ a1, b1 ∈ A1 sao cho a1b1 ∈ P1. Tức là ∀ a1,a2b1,b2 ∈ X sao cho a1,a2b1,b2 ∈ P = P1 x A2 Do P1 là iđêan nguyên tố nên hoặc a1 ∈ P1 hoặc b1 ∈ P1 điều này có nghĩa là a1,a2 ∈ P hoặc b1,b2 ∈ P. Vậy P là iđêan nguyên tố của X. Tương tự, nếu P2 là iđêan nguyên tố của A2 thì P = A1 x P2 là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2 . Ngược lại, giả sử P là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2. Ta chứng minh P = P1 x A2 hoặc P = A1 x P2 với P1 là iđêan nguyên tố của A1, P2 là iđêan nguyên tố của A2. Ta có 1,00,1 = 0,0 ∈ P Suy ra 1,0 ∈ P hoặc 0,1 ∈ P Nếu 1,0 ∈ P, ∀ a1 ∈ A1 ta có a1, 01,0 = a1, 0 ∈ P Gọi P2 = {a2 ∈ A2 / 0,a2 ∈ P } Ta chứng minh P2 là iđêan nguyên tố của A2. Thật vậy, ∀ a2,b2 ∈ P2 ta có 0 , a2 – 0 , b2 = 0, a2 - b2 ∈ P ⇒ a2 - b2 ∈ P2 ∀ α 2 ∈ A2 ta có 0 , α 2 . 0 , a2 = 0, α 2 a2 ∈ P ⇒ α 2 a2 ∈ P ∀ α 2, β 2 ∈ A2 sao cho α 2 β 2 ∈ P2 ⇒ 0, α 2 β 2 ∈ P ⇒ 0, α 2 ∈ P hoặc 0, β 2 ∈ P ⇒ α 2 ∈ P2 hoặc β 2 ∈ P2. Vậy P2 là iđêan nguyên tố của A2. Ta cần chứng minh thêm P = A1 x P2. ∀ a1,a2 ∈ A1 x P2 ⇒ a1,a2 = a1,0 + 0,a2 ∈ P do a1,0 ∈ P , 0,a2 ∈ P . ∀ a1,a2 ∈ P do a1,0 ∈ P ⇒ 0,a2 = a1,a2 - a1,0 ∈ P ⇒ a2 ∈ P2 ⇒ a1,a2 ∈ A1 x P2 Vậy nếu 1,0 ∈ P thì P = A1 x P2 với P2 là iđêan nguyên tố của A2. Tương tự nếu 0,1 ∈ P ta sẽ chứng minh được P có dạng P = P1 x A2 với P1 là iđêan nguyên tố của A1. Kết luận P là iđêan nguyên tố của X = A1 x A2 khi và chỉ khi P có dạng P = A1 x P2 hoặc P = P1 x A2 với P1 là iđêan nguyên tố của A1, P2 là iđêan nguyên tố của A2. 8 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân b Nếu M1 là iđêan tối đại của A1thì M1 x A2 là iđêan tối đại của X = A1 x A2. Thật vậy, nếu M1 x A2 = M không phải là iđêan tối đại của X thì tồn tại iđêan B của X, B = B1 x A2 sao cho M ⊂ B ⊂ X ≠ ≠ ⇒ M1 x A2 ⊂ B1 x A2 ⊂ A1 x A2 ≠ ≠ ⇒ M1 ⊂ B1 ⊂ A1 ≠ ≠ Mặt khác vì B = B1 x A2 là iđêan của X thì B1 là iđêan của A1. Vậy M1 không phải là iđêan tối đại của A1 vô lý. Tương tự nếu M2 là iđêan tối đại của A2 thì A1 x M2 là iđêan tối đại của X. Ngược lại, nếu M là là iđêan tối đại của X thì M là iđêan nguyên tố của X do đó theo a M có dạng M = M1 x A2 hoặc M = A1 x M2. Trong đó M1, M2 là iđêan nguyên tố lần lượt của A1, A2. Gỉa sử M1 không phải là iđêan tối đại của A1 thì tồn tại iđêan B1 sao cho M1 ⊂ B1 ⊂ A1. ≠ ≠ ⇒ M1 x A2 ⊂ B1 x A2 ⊂ X. Vô lý, do M1 x A2 là iđêan tối đại nên M1 phải là ≠ ≠ iđêan tối đại của A1. Tương tự, ta chứng minh được M2 là iđêan tối đại của A2. Bài toán được chứng ming xong. 8. Chứng minh trong vành chính X mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại. Chứng minh Cho X là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác không của X. Khi đó tồn tại phần tử p ∈ X, p ≠ 0, p không khả nghịch sao cho = P. ∀ x,y ∈ X sao cho xy ∈ P = , thì x ∈ , hoặc y ∈ . Tức là p/ xy thì p/ x hoặc p/ y ⇒ p là phần tử nguyên tố nên nó cũng là phần tử bất khả quy nên =P là iđêan tối đại . 9. Giả sử X là vành chính và A là iđêan của vành X. Chứng minh. a Mọi iđêan của vành X/A đều là iđêan chính. b Vành thương X/A là vành chính khi và chỉ khi A là iđêan nguyên tố. Giải a Giả sử B là iđêan của vành X/A thế thì P −1 B là iđêan của X pX → X/A là toàn cấu chính tắc. Vì X là vành chính nên P −1 B = . Suy ra B = bTheo a mọi iđêan của X/A đều là iđêan chính. Do đó X/A là vành chính ⇔ X/A là miền nguyên ⇔ A là iđêan nguyên tố 9 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân 10. Trong vành Ơclit mọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại. Thật vậy, vì vành Ơclit là vành chính nên lọi iđêan nguyên tố khác không đều tối đại. 11. Giả sử X là vành Ơclit và A là iđêan của X. Chứng minh vành thương X/A là vành Ơclit ⇔ A là iđêan nguyên tố. Giải X/A là vành Ơclit thì X/A là miền nguyên. Khi đó A là iđêan nguyên tố của X. Ngược lại A là iđêan nguyên tố của vành Ơclit X thì A = {0} hoặc A là iđêan tối đại. Khi đó X/A = X/{0} ≅ X là vành Ơclit Hoặc X/A là trường cũng là vành Ơclit. 12. Chứng minh A [x]/ ≅ A Do đó là iđêan nguyên tố của A[x] nếu A là miền nguyên và là iđêan tối đại của A[x] nếu A là trường. Xét ánh xạ θ A[x] → A Giải n f x = ∑ ai x i a f 0 = a0 i =0 Dễ thấy θ là toàn cấu vành và Ker θ = { f x = n ∑a x i=0 i i ∈ A[ x ] / θ f = 0} n ={ f x = ∑ ai x i ∈ A[ x ] / a 0 = 0} i =0 ={ f x ∈ A[ x] / f xM x} = Theo tính chất của đồng cấu vành ta có A[x]/ ≅ A. Suy ra là iđêan nguyên tố ⇔ A là miền nguyên là iđêan tối đại ⇔ A là trường 13. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. chứng minh các khẳng định sao tương đương aA là trường b A[x] là vành Ơclit c A[x] là vành chính Giải Hiển nhiên ta có a ⇒ b ⇒ c. TA cần chứng minh c ⇒ a. Ta có thể chứng minh theo hai cách 10 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Cách 1 Giả sử A[x] là vành chính. Khi đó A[x]/ ≅ A là miền nguyên do đó là iđêan nguyên tố của A[x]. Do A[x] là vành chính nên là iđêan tối đại. Suy ra A[x]/ ≅ A là trường. Cách 2 Giả sử a ∈ A, a ≠ 0, iđêan là một iđêan chính nên = với d ∈ A[x]. Vì d/x, d/a nên d khả nghịch, do đó = A[x] tức là 1 ∈ . Suy ra 1 = xf x + ag x với x = 0 ta có 1 = ag0. Vậy a khả nghịch và A là trường. 14. Cho I là iđêan của vành giao hoán có đơn vị A. Chứng minh rằng aTập con n i I [ x ] = { f x = ∑ ai x ∈ A[ x ] / ai ∈ I i =0 ∀ i = 0 ,1,...., n} là một iđêan của vành đa thức A[x]. bA[x]/I[x] ≅ A/I[x] c I là iđêan nguyên tố của A ⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x]. d I là iđêan tối đại của A thì I[x] có là iđêan tối đại của A[x] không ? Giải a Dễ thấy tổng hai đa thức thuộc I[x] là một đa thức thuộc I[x]. Gọi f x = n ∑ a x ∈ I [ x] i i i =0 n g x = ∑bi xi ∈ A[ x] i=0 m+n ∑c x = ∑a b ∈ I Thế thì h x = i =0 Trong đó ci i = k +l i i k i do I là iđêan của A. Vậy hx ∈ I[x] Nên I[x] là iđêan của A[x] b Xét ánh xạ θ A[x] → A / I [x] n n f x = ∑ ai x a f x = ∑ a i x i là một toàn cấu vành và Ker θ = { f x = i i =0 n i =0 ∑ a x ∈ A[ x] / θ f = 0} i =0 i i 11 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân = { f x = n ∑ i=0 = { f x = = { f x = n ∑ i= 0 n n a i x i ∈ A[ x ] / ∑ a i x i = 0} i=0 a i x i ∈ A[ x ] / a i = 0} ∑a i=0 i x i ∈ A[ x ] / a i ∈ I } = I [ x ] Theo định lý toàn cấu vành ta có A[x]/I[x] = A[x]/ker θ ≅ A/I[x] c I là iđêan nguyên tố trong A ⇔ A/I là miền nguyên ⇔ A/I[x] là miền nguyên ⇔ A[x]/I[x] là miền nguyên ⇔ I[x] là iđêan nguyên tố của A[x] d Nếu I là iđêan tối đại thì I[x] không là iđêan tối đại của A[x] vì A[x]/I[x] ≅ A/I[x] không là trường. *15. Trong vành giao hoán có đơn vị luôn tồn tại iđêan tối đại. Giải Gọi TA là tập hợp tất cả các iđêan A của X khác X chỉ số hoá tất cả các phần tử A của TA. Ta có TA = { Aα / α ∈ I } Ta đặt A= U Aα Khi đó A là một iđêan của X khác X và chứa tất cả các α∈X iđêan của X khác X. Tức là A là cận trên của dây chuyền Aα α ∈ I . Khi đó, theo bổ đề Zorn, trong TA = { Aα α ∈ I } tồn tại phần tử tối đại P. Nghĩa là, với mọi iđêan M của X khác X sao cho P là con của M thì P = M. Điều này có nghĩa là P là iđêan tối đại của X. *16. Cho X là vành giao hoán, có đơn vị. Bất kỳ một phần tử không khả nghịch của X đều thuộc một iđêan tối đại nào đó. Giải Với x là một phần tử không khả nghịch bất kỳ của x. Ta có ≠ X. Thật vậy, nếu = X thì 1 ∈ . Khi đó tồn tại x/ ∈ X sao cho 1 = xx/ ∈ nghĩa là x khả nghịch vô lý. Vì ≠ X nên chứa trong một iđêan tối đại nào đó. Nên x thuộc một iđêan tối đại nào đó. *17. Cho A là iđêan của X, A ≠ X. Nếu với mọi b ∉ A đều khả nghịch thì A là iđêan tối đại duy nhất của X. 12 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Giải Thật vậy, giả sử B là iđêan của X , B ≠ X. Sao cho A ⊂ B . Khi đó / ∀ b ∈ B ⇒ b ∈ A vì trái lại b ∉ A ⇒ b khả nghịch do đó tồn tại b ∈ X bb/ =1∈ B ⇒ B = X vô lý. Vậy B ⊂ A hay A = B. Vậy A là iđêan / tối đại của X. Giả sử X còn có iđêan tối đại A/ nào đó thì ∀ a ∈ A thì a Sao cho không khả nghịch. / Suy ra a ∈ A vì nếu a ∉ A thì a khả nghịch. Do đó A ⊂ A do A / là iđêan tối đại nên A/=A. Vậy A là iđêan tối đại duy nhất. 18. Cho a là một phần tử của vành giao hoán có đơn vị X hý hiệu Ann a = {x ∈ X / xa = 0} a Chứng minh Anna là iđêan của X. b Tìm Ann4 trong vành Z 32 Giải a ∀x, y ∈ Anna Ta có xa = ya = 0 ⇒ x − ya = 0 ⇒ x + y ∈ Anna ∀ ∈ X ta có xa = xa = 0 = 0 ⇒ x ∈ Anna Vậy Anna là iđêan của X. b Giả sử k ∈ Ann4 ⇔ k . 4 = 0 ⇔ 4k M32 0 ≤ k 0 sao cho xn = 0. 2. Nil-căn trong vành. Tập hợp RX gồm tất cả các phần tử luỹ linh của X là nil-căn của vành X. II. TÍNH CHẤT 1. Tính chất của phần tử luỹ linh. a Cho x ∈ X , x luỹ linh và x ≠ 0 thì x là ước của 0. Thật vậy, giả sử x ≠ 0 và x luỹ linh khi đó tồn tại số tự nhiên n bé nhất thoả xn = 0 mà x n−1 ≠ 0 thế thì xn = = 0. Suy ra xn-1 và x là ước của không. b Nếu x luỹ linh thì 1+x khả nghịch, 1-x khả nghịch. Thật vậy , vì x luỹ linh nên tồn tại n∈ N * sao cho xn = 0. Suy ra 1 = 1 + x2n+1 = 1+x [1+x+ .. + x2n] Vậy 1+x khả nghịch. Tương tự 1-x khả nghịch. c Nếu x luỹ linh và u khả nghịch thì u + x khả nghịch. Chứng minh. 14 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Trước hết ta thấy rằng nếu x luỹ linh thì vx luỹ linh ∀v ∈ X . Do đó, 1+ vx khả nghịch. Giả sử v ∈ X là phần tử nghịch đảo của u khi đó u + x = u 1 + vx khả nghịch. 2. Tính chất của nil-căn trong vành. a Nil-căn RX là một iđêan của X. Thật vậy, ∀x, y ∈ R X ta có xn = 0, xm = 0. m+n Suy ra x+y n +1 = ∑C i =1 i m+ n x i y m + n −i = 0 Do một trong hai số i và m+n-i có một số lớn hơn m và n. Nên x + y ∈ RX , − x n = −1 n x n = 0 ⇒ − x ∈ R X . Mặt khác, ∀x ∈ Rx và ∀x ∈ X ta luôn có xα = αx ∈ RX Vậy RX là iđêan của X. b X / RX không có phần tử luỹ linh khác không. Thật vậy, giả sử x = x + RX luỹ linh trong RX. Thế thì tồn tại n sao n cho x = 0 ⇒ x n ∈ R x ⇒ x ∈ R x ⇒ x = 0 . c X là vành giao hoán có đơn vị thế thì nil-căn Rx của X là giao của tất cả các iđêan nguyên tố trong X. Chứng minh Gọi R/ là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của X. Ta chứng minh R/ = Rx. Nếu vậy ta cần chứng minh rằng ∀a ∈ RX thì a ∈ R / và nếu a ∉ Rx thì a ∉ R / . ∀a ∈ R X ⇒ a n = 0 ∈ R / Do R/ là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của X nên cũng là iđêan nguyên tố của X. ⇒ a ∈ R / ∀a ∉ Rx ta chứng minh a ∉ R / . Vì a ∈ R X ⇒ a n ≠ 0∀n ∈ N Gọi A là một iđêan của X có tính chất a n ∉ A , ∀n ∈ N . Gọi TA là tập hợp tất cả các iđêan A có tính chất trên ta có T A ≠ ∅ vì {0}∈ T A . Giả sử T A = {Aα / α ∈ I } . Ta đặt A = U Aα . Khi đó A α ∈I là iđêan và ∀n > 0 , a ∉ A ⇒ A ∈ T A và A là cận trên của dây chuyền Aα α ∈ I , theo bổ đề Zorn TA có phần tử tối đại kí hiệu là iđêan P. Ta sẽ chứng minh P là iđêan nguyên tố. Giả sử x, y ∉ P ⇒ P ⊂ + P, P ⊂ + P ⇒ + P, + P ∉ T A . n ≠ ≠ Suy ra a ∈ + P, a ∈ + P với m, n nào đó. m n 15 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân Suy ra a m+ n ∈ + P ⇒ + P ∉ T A ⇒ xy ∉ P ⇒ P là iđêan nguyên tố. Vì P ∈ T A nên a m ∉ P ∀m > 0 suy ra a ∈ P ⇒ a ∉ R / ⊂ P vậy R/=Rx d X là vành giao hoán có đơn vị RX là nil-căn của X. Khi đó các khẳng định sau đây tương đương i X có một iđêan nguyên tố duy nhất. ii ∀a ∈ X thì a luỹ linh hoặc a khả nghịch. iii X / RX là trường. Chứng minh i ⇒ ii Vì X là vành giao hoán có đơn vị nên tồn tại iđêan tối đại A và A cũng là iđêan nguyên tố. Vì X có một iđêan nguyên tố duy nhất nên nó cũng là iđêan tối đại A. ∀a ∈ X mà a không khả nghịch thì a thuộc một iđêan tối đại nào đó. Do A là iđêan tối đại duy nhất nên a ∈ A . Do RX là giao của tất cả các iđêan trong X nên RX =A ⇒ a ∈ RX vậy a luỹ linh. ii ⇒ iii Giả sử a ∈ X / R X , a ≠ 0 khi đó a ∉ R X ⇒ a không luỹ linh. ⇒ a khả nghịch ⇒ a khả nghịch ⇒ X / Rx là trường. iii ⇒ i Vì X / Rx là trường ⇔ RX là iđêan tối đại của X. Mặt khác Rx là giao của các iđêan nguyên tố của X nên R x ⊂ P với P là iđêan nguyên tố của X. Nhưng do RX là iđêan tối đại nên Rx = P. Vậy X có một iđêan nguyên tố duy nhất. III. BÀI TẬP 1. Giả sử f x = A n ∑ i=0 là vành giao hoán có đơn vị và a i x i ∈ A [ x ] chứng minh các khẳng định sau a f khả nghịch trong A[x] khi và chỉ khi ao khả nghịch trong A và a1, a2, …an luỹ linh b f luỹ linh trong A[x] khi và chỉ khi ao, a1, a2, …an luỹ linh c f là ước của không khi và chỉ khi tồn tại phần tử khác không a ∈ A sao cho af = 0 . Giải 16 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân n a Giả sử a0 khả nghịch, a1, a2, …an luỹ linh khi đó ∑a x i =1 …+ an là n a0 + phần n ∑ a x =∑ i =1 i i i=0 tử luỹ n ∑ a=0 giả sử g x = ∑ i=0 Theo tính chất i = a1 + a2x2+ 1c ta có a i x i = f x khả nghịch Ngược lại, giả sử f x = n linh. i a i x i là phần tử khả nghịch trong A[x] và b i x i là nghịch đảo của f x Vì f x . g x = 1 nên r +1 a0b0 = 1. Hơn nữa ta có a n b m − r = 0 ∀ r = 0 ,1,... m . Thật vậy với r = 0 ta có = 0 vì nếu ≠ 0 thì f x . g x là đa thức bậc m+n . Giả sử a nr +1b m − r = 0 với r = 0, 1, 2, …k-1, hệ số Cn+m-k của xn+m-k trong đa thức fx, gx được cho bởi công thức Cn+m-k = an bm-k + an-1 bm-k+1 +…+ an-k bm = 0 do đó ta có a nk a n b m − k + a n −1b m − k +1 + ... + a n − k b m = 0 tức là ank +1bm − k + an −1ank bm − k +1 + ... + an − k ank bm = 0 biểu thức trong k +1 ngoặc bằng không do giả thuyết quy nạp. Do đó a n b m − k = 0 . Vậy a nr + 1 b m − r = 0 ∀ r = 0 ,1 ,... m . m+ Đặt biệt với m = r ta có a n b 0 = 0 do đó an là phần tử luỹ linh. 1 Như vậy ta đã chứng minh được nếu đa thức fx = a0 + a1x + …+anxn khả nghịch thì a0 khả nghịch và an luỹ linh. Áp dụng điều này cho đa thức fn-1x = fx – anxn khả nghịch tổng một phần tử khả nghịch và một phần tử luỹ linh là một phần tử khả nghịch. Từ fn-1x khả nghịch ta suy ra an-1 luỹ linh. Tương tự từ fn-2x, fn-3x…f1x khả nghịch ta được an-2, an-3 …a1 luỹ linh. Vậy f x = n ∑ i=0 a i x i khả nghịch khi và chỉ khi a0 khả nghịch và a1,a2 …an luỹ linh. b Nếu a1 luỹ linh, i = 0, n thì hiển nhiên f x = n ∑ i=0 17 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành a i x i luỹ linh. Diệp Hoàng Ân Ngược lại, nếu f x = n ∑ i=0 a i x i luỹ linh thì 1 + fx khả nghịch. Theo a ai luỹ linh ∀i = 1, n , nhưng do f x = a 0 + n ∑ i =1 a i x i luỹ linh nên a0 luỹ linh. Vậy fx luỹ linh khi và chỉ khi các hệ số của nó luỹ linh. c Giả f x = sử n ∑ i=0 g x = m ∑ i=0 a i x i là ước của không và b i x i b m ≠ 0 là đa thức bậc thấp nhất thoả điều kiện gxfx=0. Khi đó anbm = 0 do đó ang = 0 vì nếu an g ≠ 0 thì ang là đa thức bậc bé hơn bậc của g thoả fxangx = 0 mâu thuẩn với giả thuyết gx là đa thức bé nhất thảo điều kiện gxfx=0. Bằng quy nạp ta có ngay an-rg = 0 với r = 0, 1, 2, …,n. Suy ra an-rbm = 0 với mọi r = 0, 1, 2,…, n do đó bmf = 0. Ngược lại, nếu tồn tại a sao cho af = 0 với a ≠ 0. Khi đó gọi gx = a là đa thức bậc không ta có fxgx = afx = 0. Vậy fx là ước của không. 2. *Cho x là phần tử luỹ linh khác không của vành giao hoán có đơn vị X. Chứng minh Annx luôn nằm trong một iđêan tối đại nào đó. Giải Ta có Annx là một iđêan của X. Ta cần chứng minh Annx ≠ X. Thật vậy giả sử Annx = X thế thì 1 ∈ Ann x ⇒ 1x = x = 0 vô lý do x ≠ 0. Vậy Annx là iđêan của X khác X nên nó thuộc vào một iđêan tối đại nào đó của X. * Ghi chú từ bài tập trên ta có nếu x là phần tử khác không của X thì Annx ≠ X. Phần Thứ Ba IĐÊAN CĂN CỦA MỘT IĐÊAN CỦA VÀNH I. ĐỊNH NGHĨA Cho A là iđêan của vành giao hoán có đơn vị X. Tập hợp r A = x ∈ X / x n ∈ A được gọi là căn của iđêan A của X. II. TÍNH CHẤT { } 18 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành Diệp Hoàng Ân 1. Căn của iđêan A của X là một iđêan của X. Thật vậy, gọi r A là căn của iđêan A với x, y ∈ r A → x n , y n ∈ A vơí m,n là các số tự nhiên khi đó. x + y m+n m+n = ∑ Cmi +n x i y m+n−i ∈ A do trong hai số xi và ymn-i có một số i =0 thuộc A mà A là iđêan của X. n Suy ra x + y ∈ r A ∀α ∈ X , α , x = α n , x n ∈ A ⇒ αx ∈ r A Vậy rA là iđêan của X. 2. Cho A là iđêan của X, p X → X / A là toàn cấu chính tắc, và RX/A là nil-căn của X/A. Chứng minh r A = p −1 R X / A . Chứng minh n ∀x ∈ r A ⇔ x ∈ A ⇔ x = 0 ⇔ x ∈ R X / A ⇔ x ∈ p −1 R X / A Vậy r A = p −1 R X / A 3. rA là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của X chứa A. n Chứng minh Gọi T là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của X/A. Theo tính chất 2 ta có. r A = p −1 R X / A = p −1 I P = p∈T Ip −1 P P∈T Vì P là iđêan nguyên tố của X/A nên p-1P là iđêan nguyên tố của X. Ta cần chứng minh p-1P chứa A. − − − ∀x ∈ A ⇒ p x = x = x + A = 0 ∈ P , 0 ∈ p ⇒ x ∈ p −1 P . Vậy ta có điều phải chứng minh. III. CÁC BÀI TẬP 1. Giả sử X là vành giao hoán có đơn vị A, B là các iđêan của vành X, Chứng minh. a r A ⊃ A, r A = X ⇔ A = X . b r r A = r A 19 Tìm hiểu thêm một số khái niệm trong vành 0% found this document useful 0 votes1 views4 pagesOriginal Title030504 - Mot So Khai Niem Dia Li - HsCopyright© © All Rights ReservedAvailable FormatsPDF, TXT or read online from ScribdShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes1 views4 pagesMot So Khai Niem Dia Li - HsOriginal Title030504 - Mot So Khai Niem Dia Li - HsJump to Page You are on page 1of 4 You're Reading a Free Preview Page 3 is not shown in this preview. Reward Your CuriosityEverything you want to Anywhere. Any Commitment. Cancel anytime. 0% found this document useful 0 votes0 views54 pagesOriginal TitleMot so khai niem co ban va STH ca the KHTNCopyright© © All Rights ReservedShare this documentDid you find this document useful?0% found this document useful 0 votes0 views54 pagesMot So Khai Niem Co Ban Va STH Ca The KHTNOriginal TitleMot so khai niem co ban va STH ca the KHTN You're Reading a Free Preview Pages 9 to 11 are not shown in this preview. You're Reading a Free Preview Pages 18 to 24 are not shown in this preview. You're Reading a Free Preview Pages 28 to 50 are not shown in this preview. Để đánh lô đề hiệu quả và phán đoán số đề mỗi ngày sao cho sát và dễ trúng nhất thì bạn phải chọn cho mình một cách đánh hợp lý, đôi khi những công việc đơn giản hàng ngày cũng giúp ta luyện tập lô đề. sau đây mình xin đưa ra cho các bạn khái niệm về các bộ số trong lô đề. xem kết quả xsmn hôm nay xem kết quả xsmb hôm nay Trên cơ sở bóng dương người ta chia ra các bộ số Bộ 00 00 55 05 50 Bộ 01 01 10 06 60 15 51 56 65 Bộ 02 02 20 07 70 52 25 57 75 Bộ 03 03 30 08 80 53 35 58 85 Bộ 04 04 40 09 90 54 45 59 95 Bộ 11 11 66 16 61 Bộ 12 12 21 17 71 26 62 76 67 Bộ 13 13 31 18 81 36 63 68 86 Bộ 14 14 41 19 91 46 64 69 96 Bộ 22 22 77 27 72 Bộ 23 23 32 28 82 37 73 78 87 Bộ 24 24 42 29 92 47 74 79 97 Bộ 33 33 88 38 83 Bộ 34 34 43 39 93 48 84 89 98 Bộ 44 44 99 49 94 Bộ kép lệch 05 50 16 61 27 72 38 83 49 94 Bộ kép bằng 00 55 11 66 22 77 33 88 44 99 Trên cơ sở bóng âm ta có khái niệm bộ kép âm 07 70 14 41 29 92 36 63 58 85 Các bộ số đặc biệt khác Bộ sát kép 18 con gồm 01 10 12 21 23 32 34 43 45 54 56 65 67 76 78 87 89 98 Đề “sát kép” óanh trên cơ sở đề ngày hôm trước về “kép” Kép bằng, kép lệch hoặc kép âm Ngày n nổ “kép” thì khả năng rất cao ngày n+1, n+2, n+3 sẽ nổ “sát kép” Theo thống kê của miềng thì trong tuần hầu như đều có đề “sát kép” cá biệt thỉnh thoảng có đợt câm 3-4 tuần vì trong những tuần này đề kép nổ tưng bừng. Cao – thấp, thấp – cao của đầu đít 2, đầu đít 7 18 kon 070, 171, 272, 373, 474, 252, 262, 282, 292 Bộ số này thông thường 9 – 11 ngày là nổ cá biệt một số lần lên đến ngày 17. AE lưu ý bộ số này thường bệt lại nên đợi nó ra rồi nhảy vào phạng đỡ phải nuôi. Bộ số Hộp sô 20 kon 343, 353, 373, 393, 454, 474, 575, 494, 595, 797 Thông thường bộ số này khoảng 13, 14 ngày sẽ nổ. Lưu ý nếu nổ sẽ nổ vào các ngày thứ 9 hoặc 13, 14 Bộ số này có điều đặc biệt là thường nổ vào 3 ngày cuối tháng chính vì vậy những ngày cuối tháng miềng thường óanh phối hợp với bộ số này. AE nào đen có thể óanh trong 3 ngày cuối tháng gỡ lại $$ đã mất trong tháng. Bộ số 24 kon 121, 181, 232, 272, 282, 292, 373, 383, 393, 787, 797, 898 Bộ số này AE có thể óanh nuôi trong tuần. Theo thống kê bộ số này hầu như tuần nào cũng nổ, xác suất rất cao, có tuần nổ 2-3 nháy. Thông thường hay nổ vào các ngày T4, t5, t6. Ngoài ra còn có dàn đề 36 con đít chẵn loại kép và đít 0 ,hay dàn 36 con từ 33 -> 38 33, 34, 35, 36, 37, 38 43 -> 48 53 -> 58 63 -> 68 73 -> 78 83 -> 88 3 . Tổng và chạm của giải đặc biệt Chúng ta thường nghe dân lô đề phán đề hôm nay tổng 4 hay chạm 4 …mà có nhiều anh em mới theo học chưa hiểu Vậy tổng là kết quả của hai số cuối của giải đặc biệt cộng với nhau lấy hàng đơn vị như vậy ta có 10 tổng tương ứng với 10 số từ 0 đến 9 của dãy số tự nhiên . Vd Giải đặc biệt miền bắc hôm qua ngày 27/5/2011 là 49870 ta có 7 + 0 = 7 => tổng 7 Chạm là một trong hai số của giải đặc biệt đã về ,cũng như tổng chạm cũng sẽ có 10 chạm từ 0 đến 9 Vd Đề về 70 ai bắt chạm 7 thì sẽ đánh đầu 7 và đuôi 7 có 20 con và ai bắt chạm 0 thì có đầu 0 đuôi 0 . Nếu bắt được chạm chuẩn và tổng chuẩn thì sẽ được ăn đề bạch thủ Ngày đăng 09/07/2014, 1400 Chuyên đề tô pô Tô pô đai c ơng I các khái niệm cơ bản không gian tô pô ĐN cho tập hợ X họ gồm các tập con của X tm 1 và X . 2 G i , i .N thì Ii i G 3 G i , i .N thì Ii i G . Khi đó X cùng với lập nên một không gian tô pô . Kì hiệu X; . Cơ sở của không gian tô pô Cho không gian tô pô X; . Họ con B của goi là một cơ sở của không gian tô pô trên nếu clXx /; U của X ta tồn tai môt một tập mở V B sao cho; x .UV KGTP X gọi là thỏa mãn tiên đề điếm đợc thứ 2 nếu tô pô trên đó có một cớ đếm đợc . cho khgtp X ;A,B X khi đó Ta gọi tập A trù mật trong B nếu B A . Ta nói tập A trù mật khắp nơi trong X nếu X= A . Họ hữu hãn địa phơng Họ {A S } đgl họ hữ hạn địa phơng nếu cVlxx /, của x sao cho S x ={s S V S A } Là tập hữu hạn. Họ rời rạc Họ {A S } đgl họ rời rạc nếu nếu cVlxx /, của x sao cho Tập S x ={s S V S A }có S x .1 gian tách đợc X; .,A và B là các tập con của X đgl tách đợc nếu . == BABA Sự định hớng trên một tập ; Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. X V U Chuyên đề tô pô Cho tập D . Quan hệ trên D đgl một s dịnh hớng trên D nếu a m,n,p D thì m .; pmpnn b m .; Dmm cm,n D thì p ., npmpD tập D cùng với một sự định hớng trên nó gọi là một tập định hớng . kí hiệu D; . Là một ánh xạ S D X đgl một lới trên X . n n S kí hiệu {S n ,n ;D } . hội tụ theo lới Gs X là một không gian tô pô ; {S n ,n ;D } là một lới trên X. Lới s n đgl hội tụ về điểm x trong X nếu mỗi lân cận U của x ta có Lới s n nằm trong U từ một lúc nào đó . Điểm giới hạn của lới; điểm x là điểm giới hạn của Lới {s n } Dn nếu mọi lân cận U của v ta có L- ới {s n } Dn thờng xuyên găp U. ; ánh xạ liên tục cho các khtpô X và Y khi đó ánh xạ f X Y gọi là liên tục nếu tạo ảnh của một tập mở là một tập mở. xạ đồng phôi ánh xạ f YX đgl phép đồng phôi nếu f là song ánh và f; f 1 là các ánh xạ liên tục . ánh xạ mở Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. xS n U Chuyên đề tô pô ánh xạ f X Y đgl ánh xạ mở nếu ảnh của một tập mở là một tập mở. ánh xạ đóng ánh xạ f X Y đgl ánh xạ đóng nếu ảnh của một tập đóng trong X là một tập đóng trong Y. ánh xạ thu hẹp Cho ánh xạ f X Y khi đó ánh xạ f A A Y đgl ánh xạ thu hẹp của f lên tập A. phủ của một tập Họ {A S } Ss đgl cái phủ của tập B nếu B Ss s A . Họ {A S } Ss đgl cái phủ của X nếu X Ss s A = . Phủ tơng thích Ta nói rằng tô pô trên KGTP X là tơng thích với cái phủ {A i } Ii i AMXM ; mở đóng trong A i Ii thì M mở đóng trong X. T 1 - không gian KGTP X đgl T 1 nếu ,, yxXyx một lân cân U của x và một lân cận V của y sao cho y VxU ; . T 2 - không gian không gian Haus doff Không gian tô pô X đgl T 2 nếu ;,, yxXyx tồn tại các lân cận U và V sao cho x = VUVyU ,, Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x y U V Chuyên đề tô pô . không gian chính quy KGTP X đgl không gian chính quy nếu ,Xx tập đóng F không chửa x thì tồn tại hai lân cận U và V sao cho x .,; = VUVFU T 3 - không gian KGTP X đgl T 3 - không gian nêu X là T 1 - không gian và X là không gian chính quy . không gian hoàn toàn chính quy . KGTP X đgl không gian hoàn toàn chính quy nếu ;Xx tập F đóng thì tồn tại hàm liên tục f X ]1;0[ sao cho fx =0 nếu x F , fx =1 nếu x F . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x y U V x F U V Chuyên đề tô pô KGTP X đgl T 2 1 3 - không gian nếu X là T 1 và X là KG hoàn toàn chính quy . không gian chuẩn tắc KGTP X đgl chuẩn tắc nếu mọi cặp tập đóng rời nhau tồn tại hai lân cân rời nhau. KGTP X đgl T 4 - không gian nếu X là T 1 và X là không gian hoàn toàn chính quy . tổng các không gian Cho họ các khong gian tô pô X ; X . =X . . Đặt X = X ; Xét phép nhúng i X X . Cho bởi i Xxxx = ; . Khi đó tô pô mạnh nhất trên X sao cho các ánh xạ i nói trên liên tục đgl tô pô tông của các tô pô , X cùng vói tô pô tổng gọi là tổng trc tiếp tô pô của các không gian tô pô X nói trên . KH X = X tô pô tích Cho họ các không gian tô pô X ; . ký hiệu ; X = X ={ x= x x Ư}; X . Mỗi . Gọi P X X là phép chiếu cho bởi P x = x ; = xx . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. A B U V A đóng. B đóng. X KG HTCQUY Chuyên đề tô pô Tô pô yếu nhất trên X sao cho các phép chiếu liên tục , đgl tô pô tích của các tô pô , . X = X cùng với tô pô tích đgl không gian tích. Tích Tikhonop. không gian thơng Cho không tô pô x; ,R là một quan hệ tơng đơng trên X . Xét tập thơng X/R và ánh xạ ./ RXX cho bởi Tx =[x] ,x ,X .khi đó tô pô mịn nhât để trên X /R sao cho ánh xạ nói trên liên tục gọi là tô pô thơng trên X/R . Tập X/R cùng với tô pô thơng gọi là không gian thơng . ánh xạ định giá G/s F= { f X f Y } là họ các ánh xạ f X f Y kgtp . Ta gọi ánh xạ e X Ff f Y cho bởi [ex ] f =fx ; FfXx , là ánh xạ định giá . ánh xạ tách các điểm Họ F= { f X f Y } các ánh xạ từ không gian tô pô x vào không gian tô pô Y f đgl tách các điểm của X nếu yx , tồn tại f F sao cho fx fy . Họ F= { f X f Y } gọi là tách các điểm và tập đóng của X nếu mọi tập đóng A X với Xx \ A tồn tại hàm f F sao cho fx . Af Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. [x] [y] [z] x X X/R Chuyên đề tô pô giả mêtric Hàm d X Xì R đgl một giả meetric nếu t/m các đk 1 dx,y = dy,x , ., Xyx 2 dx,y dx,z + dz,y, .,, Xzyx 3 x= y thì dx,y =0. Tập X cùng với một giả meetric trên nó gọi là không gian giả meetric. ánh xạ đẳng cự Cho các không gian giả mêtric X,d và Y, . khi đó ánh xạ ; F X Y đgl một phép đẳng cự nếu fx,fy =dx,y. Hai không gian giả mêtric X,d và Y, gọi là đẳng cự với nhau nêu tồn tai một phép đẳng cự f X .Y gian giả meetrich hóa Kgt pô X đgl giả meetric hóa đợc nếu tồn tại một một giải meetric d trên đó sao cho d . không gian Linđơlốp. KGTP X đgl không gian Linđlốp nếu mỗi phủ mở của X ,chứ một phủ con đếm đợc . không gian com pắc KGTP X đgl không gian compắc mọi phủ mở của X đếu chứa một phủ con hữu hạn . Tập con A đgl tập compac nếu không gian con A của X với tô pô cảm sinh là không gian compac. 1. 35 họ có giao hữu hạn Họ {A Iii Ư} các tập con của KGTP X đgl có tính giao hữu hạn nếu . Ji i A ,J I ,J hữ hạn . Lọc Họ các tập con của X cho trớc đgl một lọc trong X nếu t/m các ĐK 1 nếu A , thì A . 2 nếu A , và B thì A B . 3 Nếu A và A B , thì B . siêu lọc Lọc trong tập hợp X đgl siêu lọc trong X nếu không có lọc nào ' mà ' và ' . lọc hội tụ về điểm x Lọc trong không gian tô pô X đgl hội tụ về điểm x nếu ux . không gian compac điaị phơng Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. Chuyên đề tô pô KGTP X đgl cp địa phơng nếu ,Xx một l/c V của x sao cho V là tập compac. com păc hóa một điểm G/s X, là kgt pô không com pắc . .X Đặt X =X { } .khí hiệu U ={ V X hoặc V hoặc X \V là tập con đóng com pắc của X} Khi đó cặp X,u đgl com pắc hóa một điểm của không gian tô pô không com pắc X, . Không gian com pắc hóa Gs X, là KHTP không com pắc . Com pắc hóa KGTP X là cặp f, Y ; Y là không gian tô pô . f X Y là phép nhúng đồng phôi sao cho . YXf II một số kỹ thuật phổ biến của tô pô 1 kỹ thuật xây dựng tập mở 2 kỷ thuật lấy cái phủ hữu hạn . 3 kỹ thuật chứng minh một tập là một tập đóng 4 kỹ thuật cm một ánh xạ liên tục ; 5 Kỷ thật xây dựng hại lân cân rời nhau . 6 Kỷ thuật lấy meetric trên một khong gian nào đó 7 Kỷ thuật cm một không gian là một kg cp địa phơng . 8 Kỷ thuật lấy cơ sở 9 Kỷ thuật cm đếm đợc . 10kỹ thuật xác dịnh các phép toán lấy bao đóng. 11 Kỹ thuật so sánh các tập hợp . Nguyễn Văn Nho . học viên CH toán 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD toán. x x V V . X ,chứ một phủ con đếm đợc . không gian com pắc KGTP X đgl không gian compắc mọi phủ mở của X đếu chứa một phủ con hữu hạn . Tập con A đgl tập compac nếu không gian con A của X với. không com pắc . .X Đặt X =X { } .khí hiệu U ={ V X hoặc V hoặc X V là tập con đóng com pắc của X} Khi đó cặp X,u đgl com pắc hóa một điểm của không gian tô pô không com. Nguyễn Văn Nho . học viên CH to n 17 ,A2 .chuyên ngành PPGD to n. Chuyên đề tô pô KGTP X đgl cp địa phơng nếu ,Xx một l/c V của x sao cho V là tập compac. com păc hóa một điểm G/s - Xem thêm -Xem thêm mot so khai niem co ban ve to po, mot so khai niem co ban ve to po,

mot so khai niem lo de